全型III因子的谱间隙刻画

我们给出了型$\mathrm{III}$因子全性(fullness)的谱间隙刻画，它是Connes在迹情形下的定理的类似物。利用该判据，我们推广了Jones的定理：证明若$M$是一个全因子，且$\sigma : G \rightarrow \mathrm{Aut}(M)$是离散群$G$的一个外作用，其在$\mathrm{Out}(M)$中的像是离散的，则交叉积冯·诺依曼代数$M \rtimes_\sigma G$也是一个全因子。我们应用该结果证明了Tomatsu-Ueda的如下猜想：型$\mathrm{III}_1$因子$M$的连续核(continuous core)是全的当且仅当$M$是全的且其$\tau$不变量为$\mathbb{R}$上的通常拓扑。