线段有限并集的谱

本文研究支撑于平面上两条线段并集的弧长测度的谱性。我们证明，任何此类谱测度必须容纳一条线谱。此外，当两条线段不平行时，这种谱测度仅容纳线谱。因此，在此情况下，每个谱都是一维的。我们还表明，这一属性在平面上三条或更多线段的并集中会失败。我们构造一些支撑于至少三条线段并集的弧长谱测度，使得其无谱包含于一条线上。最后，我们在 $\mathbb{R}^d$ 中支撑于有限曲线并集的弧长测度的通用框架中工作。我们证明，在半径为 $R$ 的球内，任意正交集的大小最多线性增长于 $R$。我们还给出这一界限的另一种证明，实际上获得更一般的结果，即在 $\mathbb{R}^d$（不局限于一维情形）中，Ahlfors-David 正则测度的正交集增长率。