具有图子诱导连通性结构的时空Hawkes过程

我们引入了一个时空自激点过程 $(N_t(x))$，在时间 $[0,\infty)$ 和空间 $\mathscr X$ 上均有界有限，其激励结构由 $\mathscr{X}^2$ 上的图子 $W$ 决定。这种图子Hawkes过程推广了多元Hawkes过程和可数网络上的Hawkes过程，并且尽管是无限维的，却具有惊人的易处理性。在证明了存在性、唯一性和稳定性结果后，我们在退火和淬火情形下均证明了，对于紧致的欧氏空间 $\mathscr X\subset\mathbb R^m$，任何图子Hawkes过程都可以作为 $d$ 维Hawkes过程 $\tilde N^d$ 在 $d\to\infty$ 时的适当极限。此外，在稳定状态下，我们为紧致 $\mathscr X\subset\mathbb R^m$ 上的无限维过程建立了FLLN和FCLT；而在不稳定状态下，我们证明了当 $T\to\infty$ 时 $N_T(\mathscr X)/T$ 的发散性。最后，我们利用簇表示推导了 $N$ 的Laplace泛函的不动点方程，并为此建立了一个递归逼近程序。我们应用这些结果证明了，从收敛到稳定图子Hawkes过程的多元Hawkes过程 $\tilde N^d_t$ 出发，极限 $d\to\infty$ 和 $t\to\infty$ 是可交换的。