空间生态学、最优控制与博弈论渔业问题

在生态系统和经济政策中，自然资源采伐问题都至关重要。引发该问题的典型情形是渔业策略。事实上，过度捕捞是生物种群管理中的一个众所周知的问题，因为过于贪婪可能导致我们所采伐的种群整体急剧枯竭。一个密切相关的话题是渔业政策背景下的纳什均衡。即，两个玩家竞争同一资源池时，他们能否找到均衡状态？本文的目标是利用一个基础但具启发性的数学模型—— logistic-扩散方程，对这两个问题（即单玩家模型的最优渔业策略与多玩家博弈的纳什均衡）进行详细分析。在此框架下，底层模型简写为 $-\mu\Delta \theta=\theta(K(x)-\alpha(x)-\theta)$，其中$K$表示自然资源，$\theta$表示被采伐种群的密度，$\alpha=\alpha(x)$编码单玩家渔业策略，或在处理纳什均衡时编码两个玩家渔业策略的组合。本文由两部分组成。第一部分给出了单玩家博弈最优解的精细刻画。在涉及两个玩家的情况下，我们旨在寻找纳什均衡。我们证明了在若干不同情形下纳什均衡的存在性，并研究了若干相关的定性问题。我们的研究辅以大量数值模拟，这些模拟阐明了我们的结果，并使我们能够提出开放性问题与猜想。