跨度观测量——“觅食的兔子何时不再饥饿？”

设 $X_t$ 为随机游走。我们研究其跨度 $S$，即截至时刻 $t$ 所访问区域的大小。我们想知道 $S$ 首次达到 $1$ 的概率，以及给定 $t$ 时跨度的密度。文中给出了解析结果，并与数值模拟进行了比对。随后我们将其推广以包含漂移，以及一个或两个反射边界。我们还推导了过程最大值与最小值的联合概率。我们的结果基于带反射或吸收边界的扩散传播子，为此导出了一组有用公式。