与乘子映射相关的多项式空间

设$f(x) \in \mathbb{C}[x]$且次数为$n$。我们为$f$附上一个$\mathbb{C}$-向量空间$W(f)$，它由次数至多为$n-2$的复多项式$p(x)$组成，满足$f(x)$整除$f"(x)p(x) - f'(x) p'(x)$。空间$W(f)$最初出现在Yuri Zarhin对Yu. S. Ilyashenko提出的单复变量动力系统问题的解答中。本文中，我们证明$W(f)$非零当且仅当存在某个二次多项式$q(x)$使得$q(x)^2$整除$f(x)$。进而我们在一定条件下证明$W(f)$的维数为$(n-1) - (n_1 + n_2 + 2N_3)$，其中$n_i$是$f$的重数为$i$的不同根的个数，$N_3$是$f$的重数至少为三的不同根的个数。