低次多项式纽结的空间

我们表明，所有交叉数不超过 $6$ 的纽结都可以由次数至多为 $7$ 的多项式纽结表示，其中除了 $5_2, 5_2^*, 6_1, 6_1^*, 6_2, 6_2^*$ 和 $6_3$ 之外，所有纽结均处于其最小次数表示中。我们提供了所有这些纽结的具体多项式表示。Durfee 和 O'Shea 曾提出一个问题：是否存在次数为 $6$ 的 $5$ 交叉纽结？在本文中，我们尝试部分回答这个问题。对于整数 $d\geq2$，我们定义集合 $\mathcal{\tilde{P}}_d$ 为所有由 $t\mapsto\big(f(t),g(t),h(t)\big)$ 给出的多项式纽结的集合，使得 $\text{deg}(f)=d-2$，$\text{deg}(g)=d-1$ 且 $\text{deg}(h)=d$。该集合可被识别为 $\mathbb{R}^{3d}$ 的子集，因此配备了源自 $\mathbb{R}^{3d}$ 通常拓扑的自然拓扑。在本文中，我们确定了 $d\leq 7$ 时 $\mathcal{\tilde{P}}_d$ 的路径连通分量数量的下界。我们定义了空间 $\mathcal{\tilde{P}}_d$ 中多项式纽结的路径等价性，并表明它强于拓扑等价性。