8 维 Sp(3,R) Monge 几何

我们研究了一种与 8 维中秩为 3 的分布相关的几何，其符号代数为常数，并以单李代数 sp(3,R) 作为 Tanaka 延拓。我们将考虑范围限制在仅由形如 $\dot{z}_{ij}=\frac{\partial^2 f(\dot{x}_1,\dot{x}_2)}{\partial \dot{x}_i\partial \dot{x}_j}$, $i\leq j=1,2$ 的常微分方程组定义的分布。对于这些分布，我们通过求解一个 Cartan 风格的等价问题，建立了完整的局部微分不变量系统，这秉承了他 1910 年五变量论文的精神。所考虑的几何是一种抛物几何，我们证明其主要不变量——调和曲率——是一个特定的五次式。在该五次式极大退化但非零的情况下，我们使用 Cartan 约化程序，将控制不变量的外微分系统约化到 11 维、10 维和 9 维。作为副产品，所有具有极大退化调和曲率五次式的齐次模型均被找到。它们具有维数为 11（唯一结构）、10（一个单参数族的非等价结构）或 9（恰好两个非等价结构）的对称代数。