关于指数函数与对数函数的一些迹不等式

考虑一个定义在正定矩阵对上的函数 $F(X,Y)$，其取值为正定矩阵，且满足当 $X$ 和 $Y$ 交换时 $F(X,Y)= X^pY^q$。我们的第一个主要结果给出了 $F$ 满足的条件，使得对于所有满足 ${\rm Tr} Z = {\rm Tr} X$ 的 $X,Y,Z$，有 ${\rm Tr}[ X \log (F(Z,Y))] \leq {\rm Tr}[X(p\log X + q \log Y)]$。（注意 $Z$ 不出现在不等式的右边。）我们给出了几个适用于该定理的函数 $F$ 的例子。我们的定理使我们能够为 Hiai 和 Petz 著名的对数不等式提供简单的证明，以及它们涉及三个变量 $X,Y,Z$ 而不仅仅是 $X,Y$ 的几个新推广。这些对数不等式的研究与三个量子相对熵泛函密切相关：标准的 Umegaki 量子相对熵 $D(X||Y) = {\rm Tr} [X(\log X-\log Y])$，以及另外两个，Donald 相对熵 $D_D(X||Y)$ 和 Belavkin-Stasewski 相对熵 $D_{BS}(X||Y)$。已知它们满足 $D_D(X||Y) \leq D(X||Y)\leq D_{BS}(X||Y)$。我们证明了在 $(Z,Y)$ 关于 $Z$ 是 $1$ 次齐次且关于 $Y$ 是 $-1$ 次齐次的若干情形中，Donald 相对熵为 ${\rm Tr}[ X \log (F(Z,Y))]$ 提供了与 $Z$ 无关的精确上界。我们还研究了 $D_D(X||Y)$ 和 $D_{BS}(X||Y)$ 关于 $X$ 的勒让德变换，并展示了我们在这方面的结果如何导出 Golden-Thompson 不等式的新精细化。