相对对数凹性与一对三角不等式

研究了非负整数上概率质量函数之间的相对对数凹性序 $\leq_{\mathrm{lc}}$。给定三个满足 $f\leq_{\mathrm{lc}}g\leq_{\mathrm{lc}}h$ 的概率质量函数 $f,g,h$，我们提出了一对(反向)三角不等式：若 $\sum_iif_i=\sum_iig_i<\infty$，则 $$D(f|h)\geq D(f|g)+D(g|h)$$；若 $\sum_iig_i=\sum_iih_i<\infty$，则 $$D(h|f)\geq D(h|g)+D(g|f)$$，其中 $D(\cdot|\cdot)$ 表示 Kullback-Leibler 散度。这些不等式本身具有趣味性，也被应用于多个问题，包括泊松分布和二项分布的最大熵刻画，以及相对熵意义下的最佳二项逼近。我们还给出了连续分布的平行结果，并讨论了 $\leq_{\mathrm{lc}}$ 在卷积下的行为。