关于代数嵌入的一些结果，承 de Bruijn 与 McKenzie 之后
摘要
1957 年，N. G. de Bruijn 证明了无限集 \Omega 上的对称群 Sym(\Omega) 含有一个由 2^{card(\Omega)} 个生成元生成的自由子群，并证明了一个更一般的陈述，其一个推论断言：对于任意基数 \leq card(\Omega) 的群 A，Sym(\Omega) 包含 2^{card(\Omega)} 个 A 的拷贝的余积，不仅在全体群的簇中，而且在 A 所属的任何群簇中。他的关键引理在此被推广到任意代数簇 \bf{V}，并表述为关于函子 Set --> \bf{V} 的一个陈述。由此容易得到上述结果的类似物，其中“群”和 Sym(\Omega) 分别替换为“幺半群”和 \Omega 的自映射幺半群 Self(\Omega)、“结合 K-代数”和具有基 \Omega 的 K-向量空间 V 的自同态 K-代数 End_K(V)，以及“格”和 \Omega 上等价关系的格 Equiv(\Omega)。还证明了（推广自 de Bruijn 1957 年论文中的另一结果）Sym(\Omega)、Self(\Omega) 和 End_K(V) 每一个都包含 2^{card(\Omega)} 个自身的拷贝的余积。该论文还给出了一个基数为 2^{card(\Omega)} 且{\em 不}可嵌入 Sym(\Omega) 的群的例子，R. McKenzie 随后建立了此类例子的一大类。这些结果被表明为 Sym(\Omega) 中带 Sym(\Omega) 中常量的方程解集格的一般性质的实例。同样，对 Self(\Omega)、End_K(V)、Equiv(\Omega) 以及二元关系幺半群 \Rel 也得到了类似结果——此次强度各异。文中指出了许多开放问题及进一步研究的领域。
引用
@article{arxiv.math/0606407,
title = {Some results on embeddings of algebras, after de Bruijn and McKenzie},
author = {George M. Bergman},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0606407},
year = {2021}
}
备注
37 pages. Copy at http://math.berkeley.edu/~gbergman/papers is likely to be updated more often than arXiv copy Revised version includes answers to some questions left open in first version, references to results of Wehrung answering some other questions, and some additional new results