关于代数簇 L-等价性的若干注记

在这篇短注中，我们研究代数簇的（非）L-等价性问题，特别针对阿贝尔簇和 K3 曲面。我们否定了 Huybrechts 猜想（文献[H]猜想0.3）的原始版本，该猜想断言同源 K3 曲面是 L-等价的。此外，我们给出了导出等价扭 K3 曲面的例子，其底层的 K3 曲面并非 L-等价。我们还给出例子表明 D-等价阿贝尔簇可以是非 L-等价的（相同的例子在文献[IMOU]中被独立得到）。这否定了 Kuznetsov 和 Schinder 猜想（文献[KS]猜想1.6）的原始版本。我们从关于加性范畴的 Grothendieck 群的非常一般的结果中推导出关于（非）L-等价的陈述，该范畴的态射是有限生成阿贝尔群。特别地，我们证明在这样的范畴中，每个对象的稳定同构类仅包含有限多个同构类。我们还证明，若两个对象 $X$ 和 $Y$ 满足 $\mathrm{End}(X)=\mathbb{Z}$，则它们之间的稳定同构蕴含 $X$ 和 $Y$ 同构。