无限字母表上 k-波那契词的若干性质

Fibonacci 词 $W$ 在无限字母表上由 [Zhang et al., Electronic J. Combinatorics 2017 24(2), 2-52] 引入，作为态射 $2i\rightarrow (2i)(2i+1)$、$(2i+1) \rightarrow (2i+2)$（$i\geq 0$）的不动点。此处，对任意整数 $k>2$，我们将无限字母表上的无限 $k$-波那契词 $W^{(k)}$ 定义为字母表 $\mathbb{N}$ 上态射 $\varphi_k$ 的不动点，对任意 $i\geq 0$ 与任意 $0\leq j\leq k-1$ 定义为 \begin{equation*} \varphi_k(ki+j) = \left\{ \begin{array}{ll} (ki)(ki+j+1) & \text{if } j = 0,\cdots ,k-2,\\ (ki+j+1)& \text{otherwise}. \end{array} \right. \end{equation*} 我们考虑有限词序列 $(W^{(k)}_n)_{n\geq 0}$，其中 $W^{(k)}_n$ 是 $W^{(k)}$ 的长度为第 $(n+k)$ 个 $k$-波那契数的前缀。接着我们给出了 $W^{(k)}_n$ 中出现在不同位置的回文数目的递推公式。最后，我们获得了 $W^{(k)}$ 中出现的所有回文的结构，并基于此对任意 $k>2$ 计算了 $W^{(k)}$ 的回文复杂度。