一些恼人的自反群
逻辑
2007-05-23 v1 群论
摘要
在《Almost Free Modules, Set-theoretic Methods》中，Eklof 与 Mekler 提出了关于是否存在对偶阿贝尔群 G 使得 G 不同构于 Z+G 的问题。回顾：若 G ~ D^*（其中某群 D 满足 D^*=Hom(D,Z)），则称 G 为对偶群。此类群的存在性并不显然，因为对偶群是笛卡儿积 Z^D 的子群，因而具有极多到 Z 的同态。若 p 是由该笛卡儿积之投影给出的一个到 Z 的同态，则 D^* ~ ker(p)+Z。在无限秩群 D 的所有“经典情形”中，均有 D^* ~ ker(p)。这总是成立吗？另需注意，在 H.Bass 意义下的自反群 G 是对偶群，因为依定义求值映射 s:G-->G^{**} 是同构，从而 G 是 G^* 的对偶。在 aleph_1 的 diamond 公理假设下，我们构造了一个基数为 aleph_1 的自反无挠阿贝尔群，它不同构于 Z+G。该结果对不是域的可数主理想整环上的模表述。
引用
@article{arxiv.math/0003164,
title = {Some Nasty Reflexive Groups},
author = {Ruediger Goebel and Saharon Shelah},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0003164},
year = {2007}
}