由阿贝尔群扩展的$A_1$型根系的 Weyl 群

我们研究了通过将$A_1$型不可约根系扩展为自由阿贝尔群$G$而获得的一类根系$R$。在此背景下，存在一个 Weyl 群$W$和一个具有共轭表示的群$U$。这两个群都是关于与$R$关联的离散对称空间$T$的反射群。我们证明了自然同态$U\to W$是同构的，当且仅当$G_2=G/2G$的一个相关子集$T^{ab}\setminus\{0\}$是 2-独立的，即其在映射$G_2\to G_2\otimes G_2, g\mapsto g\otimes g$下的像在伽罗瓦域$F_2$上是线性独立的。