相当自由的复杂阿贝尔群、PCF 与黑盒

我们希望构建一方面相当自由（例如 $\aleph_{\omega + 1}$-自由）且另一方面在适当意义上复杂的阿贝尔群（或 R-模）。我们选择不存在到 $Z$ 的非平凡同态作为测试问题（该问题在经典上对 $\aleph_1$-自由已知，近期对 $\aleph_n$-自由亦获证明）。我们成功证明了甚至存在 $\aleph_{\omega_1 \cdot n}-$自由的群。这需要构建相当自由的 n 维黑盒。因此，其组合数学本身具有研究价值，我们相信它对其他目的也将有用。另一方面，在假设适当大基数的前提下，我们证明了每个 $\aleph_{\omega_1 \cdot \omega}$-自由阿贝尔群均存在到 Z 的非平凡同态是一致的。