具有平凡微分算子环的一些代数

设$k$为任意域。我们构造了正则局部$k$-代数$R$（正维数）的例子，其微分算子环$D_k(R)$在如下意义上是平凡的：它不包含任何正阶算子。这些例子在特征零时是优的，但在正特征时则不是。这些环可视为非奇异的，但它们作为$D$-模并不简单，从而平息了关于$D$-简单性可能刻画一类好的奇点的猜测。在素特征下，该构造还提供了正则局部环$R$（分式域为函数域）的例子，其Frobenius前推$F_*^eR$作为$R$-模对所有$e\in \mathbb N$都是不可分解的。在此过程中，我们研究了局部环$(R, m)$在何种假设下$R$的$D$-简单性等价于其$m$-进完备化的$D$-简单性，并给出了微分算子在完备化下行为不端的环的例子。我们还推广了Jeffries在$\mathbb N$分次情形下对$D$-简单性的刻画：对于Noetherian局部$k$-代数$(R, m, k)$，$R$的$D$-简单性等价于自然映射$D_k(R)\to D_k(R, k)$的满射性。