利用深度学习求解高维非线性 Kolmogorov 方程：离散化格式的数值比较
数值分析
2022-12-15 v3 机器学习
数值分析
摘要
非线性偏微分 Kolmogorov 方程被成功用于描述自然科学、工程乃至金融中广泛的时间依赖现象。例如，在物理系统中，Allen-Cahn 方程描述与相变相关的图样形成；而在金融中，Black-Scholes 方程描述衍生品投资工具价格的演化。此类现代应用常需要在高维情形下求解这些方程，而经典方法在此失效。近来，E、Han 和 Jentzen [1][2] 引入了基于深度学习的有趣新方法。其主要思想是构造一个深度网络，该网络由 Kolmogorov 方程底层离散随机微分方程的样本训练得到。该网络至少能在数值上以多项式复杂度在整个空间域逼近 Kolmogorov 方程的解。本工作中，我们通过使用随机微分方程的不同离散化格式来研究深度网络的变体。我们在基准示例上比较了相关网络的性能，并表明对于某些离散化格式，可在不影响所观测计算复杂度的前提下实现精度的提升。
引用
@article{arxiv.2012.07747,
title = {Solving non-linear Kolmogorov equations in large dimensions by using deep learning: a numerical comparison of discretization schemes},
author = {Nicolas Macris and Raffaele Marino},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.07747},
year = {2022}
}