通过矩阵多项式的线性无关特征向量求解一般联合块对角化问题

本文考虑矩阵集$\{A_i\}_{i=0}^p$ ($p\ge 1$)的精确/近似一般联合块对角化（GJBD）问题，其中需要找到一个非奇异矩阵$W$（常称为对角化矩阵），使得矩阵$W^{H}A_iW$全部为精确/近似块对角矩阵，且对角块尽可能多。我们证明精确GJBD问题的对角化矩阵可由$W=[x_1, x_2, \dots, x_n]\Pi$给出，其中$\Pi$为置换矩阵，$x_i$为矩阵多项式$P(\lambda)=\sum_{i=0}^p\lambda^i A_i$的特征向量，满足$[x_1, x_2, \dots, x_n]$非奇异，且与$x_i$对应的每个$\lambda_i$的几何重数等于1。并建立了精确GJBD问题所有解的等价性。此外，给出了理论证明，说明为何近似GJBD问题可类似精确GJBD问题求解。基于理论结果，提出了一种三阶段方法，数值结果表明了该方法的优点。