矩阵联合块对角化的扰动分析

给定矩阵集 $\mathcal{A}=\{A_i\}_{i=1}^m$ 的矩阵联合块对角化问题（JBDP）旨在寻找一个非奇异矩阵 $W$，使得所有 $W^{T} A_i W$ 均为块对角。它包含矩阵联合对角化问题（JBD）作为特例，后者要求所有 $W^{T} A_i W$ 为对角。通常，这样的矩阵 $W$ 可能不存在，但存在实际应用（如多维独立分量分析（MICA））在理想情况（即无噪声）下确实存在。然而，实践中噪声总会进入，因此矩阵集仅可近似块对角化，即至多只能使所有 $\widetilde{W}^{T} A_i\widetilde{W}$ 接近块对角，其中 $\widetilde{W}$ 是通常通过计算获得的 $W$ 的近似。这促使我们为 JBDP 发展扰动理论，以解答（其中包括）如下问题：$\widetilde{W}$ 的精度如何。先前已讨论过 JDP 的此类理论，但尚无针对 JBDP 的尝试。在本文中，借助最近在[Cai and Liu, {\em SIAM J. Matrix Anal. Appl.}, 38(1):50--71, 2017]中建立的 JBDP 解唯一性的充要条件，我们能够建立误差界、执行后向误差分析，并提出 JBDP 的条件数。数值测试验证了理论结果。