雅可比矩阵：线性与仅多项式非线性问题之间的桥梁

利用 Hadamard 矩阵乘积概念，本文引入非线性微分算子的数值类比的两种广义矩阵表述形式。SJT 矩阵-向量积方法被证明是计算由有限差分、有限体积、配点、对偶互易 BEM 或基于径向函数数值方法所得非线性离散化的雅可比矩阵的一种简单、高效且精确的技术。我们也提出并证明了一般非线性类比多项式与其对应雅可比矩阵之间简单的潜在关系（定理（3.1）），它构成本文的基础。借助定理 3.1，非线性初值问题数值解的稳定性分析可基于线性问题的已知结果轻松处理。定理 3.1 也自然导出了诸如 SOR、Gauss-Seidel 与 Jacobi 方法等各类线性迭代算法向非线性代数方程的直截了当的推广。由于通过定理 3.1 建立了准牛顿方程的精确替代，我们导出了一个修正的 BFGS 准牛顿方法。并给出一个简单公式以检验近似与精确雅可比矩阵间的偏差。进而，为避免雅可比矩阵及其逆的求值，引入具任意非线性方程组普遍适用性的伪雅可比矩阵。需指出，大类现实非线性问题可建模或数值离散为仅多项式代数方程组。此处所给结果一般适用于所有这些问题。本文可视为从创新视角研究非线性计算与分析的起点。