数值相对论中视界的寻找

本文详细讨论 3+1 数值相对论中寻找表观视界的“牛顿法”算法。我们描述一种通过对有限差分方程进行符号微分来计算有限差分 $H(h)$ 函数的雅可比矩阵的方法，从而直接以用于计算 $H(h)$ 的有限差分分子系数给出雅可比元。在有限差分格式与线性化可交换的假设下，我们展示如何先线性化连续 $H(h)$ 方程、再对线性化（连续）方程作有限差分来计算雅可比元。我们发现这种计算 $H(h)$ 雅可比的符号微分方法比通常的数值扰动法高效得多，且比通常认为的更易实现。在求解离散 $H(h)=0$ 方程时，我们发现牛顿法一般收敛极快。然而，若视界位置的初始猜测含有显著的高空间频率误差分量，牛顿法的收敛半径很小（差）。这并非有限差网格分辨率不足的假象；而似乎是由连续 $H(h)$ 函数对 $h$ 中高空间频率误差分量的强非线性引起。牛顿法的稳健变体可将收敛半径提升 O(1) 倍，但底层非线性依旧存在，且随初始猜测误差空间频率增大而迅速恶化。使用四阶有限差分，我们对 $\Delta\theta = \frac{\pi/2}{50}$ 下算得视界位置的典型精度在 $10^{-5}$ 范围。