$R^n$中各项异性多孔介质方程在$L^1$初值下的解

考虑各向异性多孔介质方程 $u_t=\sum\limits_{i=1}^n(u^{m_i})_{x_ix_i},$ 其中 $m_i>0, (i=1,2,...,n)$ 满足 $\min\limits_{1\le i\le n}\{m_i\}\le 1,$ $\sum\limits_{i=1}^nm_i>n-2,$ 且 $\max\limits_{1\le i\le n}\{m_i\}\le \frac{1}{n}(2+\sum\limits_{i=1}^nm_i).$ 假设初值数据仅属于 $L^1(\Re^n)$，我们建立了Cauchy问题在空间 $C([0,\infty), L^1(\Re^n))\cap C(\Re^n\times(0,\infty))\cap L^\infty(\Re^n\times[\epsilon,\infty))$ 中解的存在性与唯一性，其中 $\epsilon>0$ 可为任意值。我们还给出了此类解的比较原理。进一步，我们证明当时间趋于无穷时，解在 $L^\infty(\Re^n)$ 空间中收敛于零。