基于带物理约束深度学习方法求解非线性薛定谔方程的孤子、呼吸子与怪波解
可精确求解与可积系统
2020-11-20 v3
摘要
非线性薛定谔方程是一个经典的 integrable 方程，包含大量重要性质并出现在许多物理领域。然而，由于求解该方程的困难，尤其在高维情况下，人们提出了许多方法来有效获得不同类型的解，例如神经网络等。最近，一种将某些底层物理规律嵌入传统神经网络的方法被提出，以直接从时空数据揭示方程的动力学行为。相比传统神经网络，该方法能以极少的数据获得极为精确的解，同时也提供了更好的物理解释与泛化能力。本文在上述方法基础上，提出一种改进的深度学习方法，以恢复非线性薛定谔方程的孤子解、呼吸子解和怪波解。特别地，我们首次通过深度神经网络揭示了该方程一阶与二阶怪波的动力学行为及误差分析。此外，在相同初始与边界条件下，借助控制变量法考虑了不同数量的采样初始点、残差配置点、网络层数、每隐藏层神经元数对一阶怪波动力学的影响。数值实验表明，利用这种带物理约束的深度学习方法可以很好地重构可积非线性薛定谔方程的孤子解、呼吸子解和怪波解的动力学行为。
引用
@article{arxiv.2011.04949,
title = {Soliton, Breather and Rogue Wave Solutions for Solving the Nonlinear Schr\"odinger Equation Using a Deep Learning Method with Physical Constraints},
author = {Juncai Pu and Jun Li and Yong Chen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.04949},
year = {2020}
}