Sobolev 不等式与线性化复 Monge-Ampère 方程及 Hessian 方程的正则性

设 $u$ 是有界域 $\Omega\in\mathbb C^n$ 上光滑、严格 $k$-多重次调和函数，其中 $2\leq k\leq n$。本文旨在研究当 $u$ 的复 $k$-Hessian $H_k[u]$ 上下有界时，线性化复 Monge-Ampère 方程与 Hessian 方程解的正则性。我们首先建立与线性化方程相关的 Green 函数的一些估计。随后证明一类新的 Sobolev 不等式。借助这些不等式，我们利用 Moser 迭代研究 Hessian 方程及其线性化方程以及 Kähler 数量曲率方程的先验估计。特别地，在系数满足额外可积性条件下，我们得到了线性化复 Monge-Ampère 方程与 Hessian 方程的 Harnack 不等式。该方法在实与复情形下均适用。