曲线上可光滑化的局部Cohen-Macaulay和非Cohen-Macaulay多重结构

在本文中，我们证明当一族嵌入退化到一个$n$次态射$\varphi$时，曲线上会出现多种多重结构。人们可能预期，当嵌入退化到这样的态射时，会出现某种局部Cohen-Macaulay多重结构（所谓的$n$重绳索）。我们表明这种预期是幼稚的，在这种情况下，局部Cohen-Macaulay和非Cohen-Macaulay多重结构都可能出现。在观察这一点时，我们发现许多多重结构可以被光滑化。当我们专门研究双重结构的情况时，我们可以说得更多。特别是，我们找到了关于许多可光滑化双重结构存在的数值条件，这些条件用次数和算术亏格表示。此外，我们证明这些双重结构的存在由某个向量丛同态空间的元素决定（尽管不是唯一决定），这些元素与$\varphi$的一阶无穷小形变相关。在许多情况下，我们表明，要唯一确定一个双重结构，仅仅考察$\varphi$的一阶形变是不够的；还需要选择一个形式形变。