椭圆方程的小体积展开

本文分析了通用小体积夹杂物对形式为 $\nabla \cdot D^\eps \nabla u^\eps=0$ 或 $(-\Delta + q^\eps) u^\eps=0$ 的椭圆方程解在域边界上的迹的影响，其中规定了 Neumann 条件。当椭圆方程中的本构参数在背景和夹杂物内部取不同且光滑的函数值时，相关理论已为人熟知。我们将结果推广到夹杂物内部参数任意（从而可能是快速）波动的情况，并获得了解在域边界上的迹的展开式，精度高达 $\eps^{2d}$ 阶，其中 $d$ 为维数，$\eps$ 为夹杂物的直径。我们构造了主导影响阶数至多为 $\eps^{d+1}$ 而非预期的 $\eps^d$ 的夹杂物。我们还比较了扩散方程和 Helmholtz 方程的展开式，并通过经典的 Liouville 变量变换探讨了它们之间的关系。