小偶覆盖、局部可解码码与边着色 Kikuchi 图的受限子图

给定一个具有 $n$ 个顶点的 $k$-均匀超图 $H$，$H$ 中的偶覆盖是接触每个顶点偶数次的超边集合。偶覆盖是图中圈的推广，等价于模 $2$ 线性方程组的线性相关子集。因此，它们自然地出现在编码理论和反驳不可满足 $k$-SAT 公式等被广泛研究的问题中。类似于 Alon、Hoory 和 Linial (2002) 的非正则 Moore 界，Feige 在 2008 年猜想 $k$-均匀超图中超边数量与最小偶覆盖长度之间存在一种极值权衡。该猜想最近在超边数量的乘性对数因子范围内得到解决 (Guruswami、Kothari 和 Manohar 2022，以及 Hsieh、Kothari 和 Mohanty 2023)。这些工作引入了将超图偶覆盖与相关联的 Kikuchi 图中的圈联系起来的新技术。他们对这些 Kikuchi 图的分析（特别是对于奇数 $k$）相当复杂，且依赖于矩阵集中度不等式。在本工作中，我们给出了一个简单且纯组合的论证，恢复了偶数 $k$ 下 Feige 猜想的最佳已知界。我们还引入了 Kikuchi 图的一种新变体，结合该论证，改进了奇数 $k$ 下最佳已知界中的对数因子。作为我们思想的应用，我们还给出了关于 3-查询二元线性局部可解码码改进下界 (Alrabiah、Guruswami、Kothari 和 Manohar, 2023) 的纯组合证明。