3k-连通图的慢着色

慢着色游戏由 Mahoney、Puleo 和 West 引入，由两名玩家 Lister 和 Painter 在图 $G$ 上进行。在第 $i$ 轮，Lister 标记 $V(G)$ 的一个非空子集 $M$。通过此举他获得 $|M|$ 分。Painter 通过删除 $M$ 的一个极大独立子集来应对。该过程持续进行，直到所有顶点被删除。Lister 旨在最大化得分，而 Painter 旨在最小化得分。两名玩家都能保证的最佳得分称为 $G$ 的慢着色数（slow coloring number）或和着色代价（sum-color cost），记为 $\spo{(G)}$。Puleo 和 West 发现，对于 $n$ 个顶点的树 $T$，慢着色数至多为 $\lfloor \frac{3n}{2} \rfloor$，且当 $T$ 包含一个由 1 度或 3 度顶点构成的生成森林时可达该最大值。这意味着每个具有完美匹配的 $n$ 顶点图 $G$ 满足 $\spo(G) \geq \lfloor{\frac{3n}{2}}\rfloor$。在本文中，我们证明对于具有完美匹配且 $|V(G)| \geq 4k$ 的 $3k$-连通图，下界更高：$\spo(G) \geq \frac{3n}{2} + k$。