SL(2,Z) 不变性与 $D^6 R^4$ 相互作用的 D-瞬子贡献

IIB 型弦理论低能展开中 $D^6R^4$ 相互作用的模不变系数被猜想为某个非齐次拉普拉斯特征值方程的解，该方程源于对十一维超引力双圈费曼图进行环面紧化。本文确定了满足 $y\to \infty$（弱耦合极限）时适当中等增长条件的该微分方程的确切 $SL(2,\mathbb Z)$ 不变解 $f(x+iy)$。该解表示为傅里叶级数，其模为 $\widehat{f}_n(y) e^{2\pi i n x}$，其中模系数 $\widehat{f}_n(y)$ 是 $K$-贝塞尔函数的双线性形式。$SL(2,\mathbb Z)$ 不变性要求这些模满足非平凡边界条件 $\widehat{f}_n(y) =O(y^{-2})$（当 $y$ 较小时），从而唯一确定了解。$f(x+iy)$ 的大 $y$ 展开包含已知的微扰（幂律行为）项，以及精确确定的指数衰减贡献，其形式符合 D-瞬子、反 D-瞬子以及 D-瞬子/反 D-瞬子对的预期。