基多项式的奇点与 Gau-Wu 数

2013 年，Gau 与 Wu 引入了一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的酉不变量的记号 $k(A)$，它计数使得标量积 $\langle A\textbf x_j,\textbf x_j\rangle$ 落在数值域 $W(A)$ 边界上的标准正交向量 $\textbf x_j$ 的最大数目。我们称 $k(A)$ 为矩阵 $A$ 的 Gau–Wu 数。在本文中，我们采用代数几何方法，考虑基曲线（其对偶为边界生成曲线）的奇点对 $k(A)$ 分类的影响。这延续了 Wang 与 Wu 对 $3\times 3$ 矩阵 Gau-Wu 数分类的工作。我们对奇点的关注受 Chien 与 Nakazato 的启发，他们根据该曲线的奇点分类了具有不可约基曲线的 $4\times 4$ 酉不可约 $A$ 的 $W(A)$。当 $A$ 是酉不可约 $n\times n$ 矩阵时，我们给出 $k(A)=2$ 的必要条件，刻画 $k(A)=n$，并将这些结果应用于酉不可约 $4\times 4$ 矩阵的情形。然而，我们通过给出基曲线具有相同类型奇点但 $k(A)$ 不同的酉不可约矩阵的例子，表明奇点知识不足以确定 $k(A)$。此外，我们将 Chien 与 Nakazato 的分类推广到考虑具有可约基曲线的酉不可约 $A$，并表明可以找到具有完全相同基曲线但不同 $k(A)$ 的对应矩阵。最后，我们利用最近被证明的 Lax 猜想给出 Helton 与 Spitkovsky 一个定理的新证明，并在此过程中推广了他们的结果。