素数特征下可微单 Noetherian 交换环上的单导子

设 $R$ 是一个特征 $p>0$ 的{\em 可微单 Noetherian 交换}环(则 $(R, \gm)$ 是局部的且 $n:= {\rm emdim} (R)<\infty$)。给出了 Harper \cite{Harper61} 关于素数特征下可微单 Noetherian 交换环分类定理的一个简短证明。本文的主要结果是:环 $R$ 上{\em 存在}一个{\em 幂零单}导子,使得若 $\d^{p^i}\neq 0$ 则对某些 $x_i\in \gm$ 有 $\d^{p^i}(x_i)=1$。导子 $\d$ 被{\em 显式地}给出,它在环自同构群 ${\rm Aut}(R)$ 作用下{\em 唯一}。设 $\nsder (R)$ 为所有此类导子的集合,则 $\nsder (R)\simeq {\rm Aut}(R)/{\rm Aut}(R/\gm)$。证明基于对每个 $\d \in \nsder (R)$ 的{\em 存在}且{\em 唯一}的{\em 迭代} $\d$-{\em 下降},即 $R$ 中序列 $\{y^{[i]}, 0\leq i<p^n\}$ 满足 $y^{[0]}:=1$、$\d(y^{[i]})=y^{[i-1]}$ 且对所有 $0\leq i,j<p^n$ 有 $y^{[i]}y^{[j]}={i+j\choose i}y^{[i+j]}$。对每个 $\d\in \nsder (R)$,有 $\Der_{k'}(R)=\oplus_{i=0}^{n-1}R\d^{p^i}$ 且 $k':= \ker (\d)\simeq R/ \gm$。