块大小为 $13$ 的 $\mathrm{PSL}(2,2^n)$ 的简单 $3$-设计

本文研究了以 $\mathrm{PSL}(2,2^n)$ 为自同构群的简单 $3$-$(2^n+1,13,\lambda)$ 设计。通过系统分析 $\mathrm{PSL}(2, 2^n)$ 在射影直线上的作用下 $13$ 元子集的轨道，我们确定了 $\lambda$ 的所有可能取值。以往研究通过直接分析 $k$ 元子集 $B$ 的结构来探讨此问题，而我们采用群论与 Cauchy-Frobenius-Burnside 引理来处理该问题。该方法提供了一个高效的框架，可应用于传统枚举方法在计算上变得不可行的更大块大小的情况。