从仿射与多项式视角看签名随机微分方程
概率论
2025-02-04 v2 数理金融
摘要
签名随机微分方程（SDEs）构成了一大类随机过程，此处由布朗运动驱动，其特征是自身签名的线性映射，即过程与自身的迭代积分，因此允许通用的路径依赖性。我们表明，其与相应签名的延拓是在扩展张量代数的类群元素集合中取值的仿射与多项式过程。借助仿射或多项式过程的对偶理论，我们得到了以收敛幂级数表示的傅里叶-拉普拉斯变换及签名过程边际整函数期望值的显式公式。这些幂级数的系数分别是扩展张量代数值的 Riccati 和线性常微分方程（ODEs）的解，其向量场可用相应 SDEs 的特征表示。因此我们构造了一类在具有路径依赖特征的伊藤扩散中普适（如引言中所指意义）的随机过程，并允许对傅里叶-拉普拉斯变换乃至路径空间上的完整分布作显式刻画。该仿射与多项式方法的实际适用性由若干数值例子予以说明。
引用
@article{arxiv.2302.01362,
title = {Signature SDEs from an affine and polynomial perspective},
author = {Christa Cuchiero and Sara Svaluto-Ferro and Josef Teichmann},
journal= {arXiv preprint arXiv:2302.01362},
year = {2025}
}