无有限体积约束下临界各向异性 Sobolev 方程正解的分类

本文对临界各向异性 Sobolev 方程\n\n\begin{equation}\label{0.1} -\Delta^{H}_{p}u = u^{p^{*}-1}, \ \ x\in \mathbb{R}^n \end{equation}\n\n（其中 $p^{*} = \frac{np}{n-p}$ 为临界 Sobolev 指数，$-\Delta^{H}_{p}=-div(H^{p-1}(\cdot)\nabla H(\cdot))$ 为各向异性 $p$-Laplace 算子，$\Lambda = \lambda\max\limits_{\substack{\xi \in \mathbb{R}^n\\1 \leq i, j \leq n}}\left\{\frac{|\xi|^{2}(\nabla^{2}_{ij}H^{p}(\xi))} {p(p-1)H^{p}(\xi)}\right\}$）在 $n \geq 3$ 且 $p_n(\Lambda) < p < n$ 下的正解进行分类。该结果消除了 Ciraolo-Figalli-Roncoroni 在文献中对临界各向异性 $p$-Laplace 方程分类所做的有限体积假设。我们采用基于不变张量技术的新方法，并使用 Kato 不等式，证明当 $p_n(\Lambda) \leq p < n$ 时，方程的正解可被分类，其中 $p_n(\Lambda)$ 明确地依赖于 $\Lambda$。本结果准确地揭示了临界指数 $p$ 相对于 $n$ 和 $\Lambda$ 的精确依赖关系。