移位 radix 系统：综述

设 $d\ge 1$ 为整数，${\bf r}=(r_0,\dots,r_{d-1}) \in \mathbf{R}^d$。{\em 移位 radix 系统} $\tau_\mathbf{r}: \mathbb{Z}^d \to \mathbb{Z}^d$ 定义为 $$\tau_{{\bf r}}({\bf z})=(z_1,\dots,z_{d-1},-\lfloor {\bf r} {\bf z}\rfloor)^t \qquad ({\bf z}=(z_0,\dots,z_{d-1})^t).$$ 如果每个 ${\bf z} \in \mathbb{Z}^d$ 在 $\tau_\mathbf{r}$ 的迭代下最终映射到 ${\bf 0}$，则 $\tau_\mathbf{r}$ 具有 {\em 有限性性质}。在本综述中，我们总结了关于这些近线性映射的结果。我们讨论了这些映射如何与熟知的记数系统、带舍入的旋转以及关于 Salem 数周期展开的猜想相关联。此外，我们回顾了点在 $\tau_\mathbf{r}$ 迭代下的轨道行为，特别强调了最终周期轨道和有限性性质。我们还描述了与移位 radix 系统相关的几何理论。