Sheaf-Laplacian 阻挡与跨模态兼容性投影难度

我们发展了一个统一框架，用于分析学习表示中的跨模态兼容性。核心对象是样本索引上一个模态无关的邻域站点，配备有限维实内积空间的细胞丘面。对于给定模态对 $(a\to b)$，我们形式化了两种互补的不兼容机制：投影难度，是指在受控投影族家族中实现单一全局映射对白化嵌入对齐所需的最小复杂度；Sheaf-Laplacian 阻挡，是指在局部适合的投影参数场中实现目标对齐误差所需的最小空间变动。阻挡不变通过投影参数丘面实现，其 0-Laplacian 能量恰好匹配丘面正则化回归中使用的光滑惩罚项，使理论直接可操作。该框架区分了两种 distinct 失败模式：难度失败，即不存在低复杂度全局投影；阻挡失败，即局部投影存在但无法在语义邻域图上实现全局一致性而无需大参数变动。我们将丘面谱间隙与全局对齐稳定性关联，推导阻挡能量与全局映射误差增量之间的下界，并给出显式构造表明兼容性通常不可传递。我们进一步定义通过组成投影族实现桥接，表明在具体的 ReLU 设置下，中间模态可严格降低有效难度，即使直接对齐仍不可行。