关于 DNF 公式 Fourier 集中性的更紧界

1992 年，Mansour 证明了每个大小为 $s$ 的 DNF 公式在 $s^{O(\log\log s)}$ 个系数上具有 Fourier 集中性。我们将其改进为 $s^{O(\log\log k)}$，其中 $k$ 为该 DNF 的读取数。由于 $k$ 始终不超过 $s$，我们的界对所有 DNF 与 Mansour 的界相匹配，并对小读取的 DNF 有所加强。此前关于 read-$k$ DNF 的最佳界为 $s^{O(k^{3/2})}$。对于 $k$ 不超过 $\tilde{\Theta}(\log\log s)$ 的情况，我们进一步将界改进至最优的 $\mathrm{poly}(s)$；此前对于任何 $k = \omega_s(1)$ 均无此类已知的界。我们的技术涉及将 DNF 的项结构视为集合系统与其 Fourier 谱之间建立的新联系。