多样化-k-SAT问题的算法：满足赋值的几何结构

给定一个 $k$-CNF 公式和一个整数 $s$，我们研究获取该公式的 $s$ 个解且这些解尽可能分散的算法。对于 $s=2$，计算 $k$-CNF 公式的直径问题由 Creszenzi 和 Rossi 发起，他们证明即使对于 $k=2$ 也存在强硬度结果。假设 SETH，当前最佳上界 [Angelsmark and Thapper '04] 在 $k \rightarrow \infty$ 时达到 $4^n$。作为我们的第一个结果，我们给出了利用快速傅里叶变换和团查找的精确算法，运行时间分别为 $O^*(2^{(s-1)n})$ 和 $O^*(s^2 |\Omega_{F}|^{\omega \lceil s/3 \rceil})$，其中 $|\Omega_{F}|$ 是公式 $F$ 的解空间大小，$\omega$ 是矩阵乘法指数。作为我们的主要结果，我们重新分析了流行的 PPZ（Paturi, Pudlak, Zane '97）算法和 Schöning（'02）算法（它们在 $O^*(2^{\varepsilon_{k}n})$ 时间内找到一个解，其中 $\varepsilon_{k} \approx 1-\Theta(1/k)$），并证明它们可以在相同时间内用于近似直径以及分散度（$s>2$）问题。虽然我们需要修改 Schöning 的原始算法，但我们证明 PPZ 算法无需任何修改即可在几何意义上采样解。我们认为这一性质可能具有独立意义。最后，我们提出了在 $\text{poly}(s)O^*(2^{\varepsilon n})$ 时间内输出近似多样化、近似最优解的算法，其中 $\varepsilon<1$，适用于最小击中集（Minimum Hitting Set）和反馈顶点集（Feedback Vertex Set）等若干 NP 完全优化问题。对于这些问题，所有现有的寻找最优多样化解的精确方法都至少具有关于解的数量 $s$ 的指数依赖。我们的方法具有关于 $s$ 的多项式依赖，找到双近似解。