从随机 $k$-SAT 中快速采样满足赋值及其在连通性上的应用

我们给出一种近线性时间算法，用于在随机 $k$-SAT 模型中当公式密度随 $k$ 指数缩放时近似采样满足赋值。此前已知的随机 $k$-SAT 模型最佳采样算法适用于公式密度 $\alpha=m/n$ 小于 $2^{k/300}$ 的情形，且运行时间为 $n^{\exp(\Theta(k))}$。这里 $n$ 为变量数，$m$ 为子句数。我们的算法实现了显著更快的运行时间 $n^{1 + o_k(1)}$，并在密度 $\alpha\leq 2^{0.039 k}$ 下采样满足赋值。我们设定中的主要挑战是存在许多无界度变量，这在公式内引发显著关联，并阻碍相关马尔可夫链方法在有限度设定中的应用。我们的主要技术贡献是 $k$-SAT 模型中影响之和的 $o_k(\log n )$ 界，该界对高度变量的存在表现出鲁棒性。这使我们能应用谱独立性框架，并在精心选取的变量子集上获得均匀块 Glauber 动力学的快速混合结果。我们方法的最终关键要素是利用对数大小连通集的稀疏性以及随机公式的扩张性质，建立满足赋值集合的相关连通性性质，从而实现该 Glauber 动力学的快速模拟。我们的结果还使我们得出结论：以高概率，密度不超过 $2^{0.227 k}$ 的随机 $k$-CNF 公式具有一个巨连通分量，其解在如下图中相连——若两解具有汉明距离 $O_k(\log n)$ 则相邻。我们也能在同一 regime 下推导出随机 $k$-CNF 的松散性结果。