螺线管场的尖锐不确定性原理不等式

本文解决了 Maz'ya 在 Integral Equations Operator Theory 2018 上提出的关于尖锐不确定性原理不等式的开放问题的 $L^2$ 版本：对 $\mathbb{R}^N$ 上的螺线管（即无散度）矢量场 ${\bf\it u}={\bf\it u}({\bf\it x})$，有 $$\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla {\bf\it u}|^2dx\int_{\mathbb{R}^N}|{\bf\it u}|^2|{\bf\it x}|^2dx\ge C_N\left(\int_{\mathbb{R}^N}|{\bf\it u}|^2dx\right)^2$$ 。常数最佳值结果为 $C_N=\frac{1}{4}\left(\sqrt{N^2-4(N-3)}+2\right)^2$，其超过了无约束场的原值 $N^2/4$。此外，我们展示了 $C_N$ 的可达性，并明确了极值螺线管场的轮廓：对 $N\ge4$，极值场正比于一个轴对称且除对称轴外唯一的极向场；对 $N=3$，还额外存在极值环向场。