二部多重图中最大匹配数的锐下界

我们在多种条件下研究具有部分 $X$ 与 $Y$ 的二部多重图 $G$ 中最大匹配的最小数量，改进了 M. Hall 的著名下界。当 $|X|=n$、$X$ 中每个顶点度数至少为 $k$、且 $X$ 中每个顶点至少有 $r$ 个不同邻点时，最小值为：当 $n\ge r$ 时为 $r!(k-r+1)$，当 $n<r$ 时为 $[r+n(k-r)]\prod_{i=1}^{n-1}(r-i)$。当每个顶点至少有 2 个邻点且 $|Y|-|X|=t\ge 0$ 时，最小值为 $[(n-1)t+2+b](t+1)$，其中 $b=|E(G)|-2(n+t)$。我们还确定了若干其他情形下最大匹配的最小数量，并给出了多种达到锐界的构造。