共享祖先图与符号树状映射

有限集$X$（$|X|\geq 2$）上的网络$N$是一个连通有向无环图，其叶集为$X$，其中$N$中每个根的出度至少为2，且$N$中没有顶点的入度和出度都等于1；$N$若是树状网络，则其底层无根无向图是一棵树。网络在进化生物学中备受关注，因为它们被用于例如表示一组物种$X$的进化历史，这些物种的祖先在过去曾交换过基因。对于某个任意符号集$M$，$d:{X \choose 2} \to M \cup \{\odot\}$是一个符号树状映射，如果存在某个树状网络$N$，其出度不小于2的顶点由$M$中元素标记，并且对于${x,y} \in {X \choose 2}$，$d(\{x,y\})$等于$N$中$x$和$y$的最近公共祖先的标记（若存在）否则为$\odot$。符号树状映射的重要例子包括符号超度量，它们出现在博弈论、系统发育学和余图理论等领域。在本文中，我们证明映射$d:{X \choose 2} \to M \cup \{\odot\}$是符号树状映射，当且仅当$d$满足某些3点和4点条件，且以$X$为顶点集、边集由那些满足$d(\{x,y\}) \neq \odot$的${x,y} \in {X \choose 2}$组成的图是托勒密图。为此，我们引入并证明了一个关于$X$上网络$N$的共享祖先图的关键定理，其中共享祖先图是以$X$为顶点集、边集由那些${x,y} \in {X \choose 2}$组成的图，使得$x$和$y$在$N$中共享一个公共祖先。特别地，我们证明对于任意以$X$为顶点集的连通图$G$及其边团覆盖$K$（其中$K$中不存在两个不同的集合使一个为另一个的子集），存在某个具有$|K|$个根且叶集为$X$的网络，其共享祖先图即为$G$。