论关系与图的树表示：符号超度量与余图边分解

对称二元关系（集合）或等价地边着色无向图的树表示在诸如系统发育基因组学等领域中备受关注。在此背景下，符号超度量起着至关重要的作用。符号超度量定义了一个边着色完全图，使得能够将该图的拓扑表示为顶点着色树。在此，我们关注基于符号超度量的考量所产生的某些组合问题的结构与复杂度，以及求解它们的算法。这包括对符号超度量进行刻画，使其额外区分任意边着色图 $G$ 的边与非边，从而通过所谓的余图产生 $G$ 的树表示。此外，我们探讨了寻找“最接近”符号超度量的问题，并证明了三个问题的 NP 完全性：符号超度量编辑、补全和删除。最后，由于并非所有图都是余图，因此不具备树表示，我们进一步追问：表示任意非余图 $G$ 的拓扑所需的最小余图树数量是多少。这等价于寻找 $E$ 的最优余图边 $k$-分解 $\{E_1,\dots,E_k\}$，使得 $G$ 的每个子图 $(V,E_i)$ 均为余图。我们详细研究了该问题，得出了若干新的开放问题与 NP 困难性结果。对于所有被证明为 NP 困难的优化问题，我们将提供整数线性规划（ILP）公式以高效求解。