双曲非欧几里得薄板中的形状转变

我们展示并总结了近期关于在 F"oppl-von K\'arm\'an 和 Kirchhoff 近似下具有恒定负高斯曲率的非欧几里得薄板的研究结果。受实验结果启发，我们重点关注具有周期性轮廓的圆环。我们表明，在 F"oppl-von K\'arm\'an 近似下，仅存在两类全局极小值：平坦变形和鞍形变形，其在圆环边界附近具有局域拉伸区域。我们还证明了存在具有 $n$ 个波的局域极小值，其在拐点线附近具有拉伸区域。在 Kirchhoff 近似下，我们证明了存在具有周期性轮廓的精确等距浸入。这些构型中的波数由弯曲能保持有限的条件决定，并随圆环半径近似指数增长。对于大半径，这些形状在能量上优于鞍形，这可以解释为何钩针编织的双曲平面模型会选择波浪形形状。