通过 $U_q(\mathfrak{su}_N)$ 的巨型表示实现 A-多项式的阴影化

经典 A-多项式 $A(\ell,m)$ 定义了 $SL(2,\mathbb{C})$（$SU(2)$ 的复数化）character varieties 中坐标 $\ell$ 和 $m$ 上的约束，后者与环绕结 $S^3\setminus K$ 的特征相关联。量子 A-多项式 $\hat A(\hat \ell,\hat m)$ 是消去 Jones 多项式的差分算子，据称它们代表了在围绕结 $K$ 丝strand 的toroidal pipe 边界（即 $S^3\setminus K$ 的补集）上的 $SU(2)$ 规范的 3d Chern-Simons 理论的波函数。我们建议一种 $SU(N)$ 关联的经典阴影 A-多项式 $A_a(\ell_b,m_c)$ 的构造方法。我们利用 Clebsh-Gordan (CG) 和弦的形式，其中指数 $a$、$b$、$c$ 均运行于 $1,\ldots,N-1$。CG 和弦在 2d WZW 类型 CFT 或量子群 $U_q(\mathfrak{su}_N)$ 的框架中具有自然解释。在 $\mathfrak{su}_2$ 情况下，CG 和弦可关联到结 contact homology (KCH) 中的 Reeb 和弦。KCH 建议其自身的 A-多项式类比，称为 augmentation 多项式，可能具有额外的虚假根。然而，CG 和弦 formalism 易于推广到任意 $\mathfrak{su}_N$，从而允许我们将 A(ugmentation)-多项式的构造推广到任意 $\mathfrak{su}_N$ 和任意表示。主要我们旨在通过考虑当 $q=e^{\hbar}$、$\hbar\to 0$ 且表示为巨型时（特别是当最高权向量分量 $w_i\to \infty$ 使得 $\hbar w_i\sim m_i$ 保持有限）的 double scaling limit 来获得经典 A-多项式。我们仍期望所呈现的技术手段在派生任意 Lie (超)代数 $\mathfrak{g}$ 的量子 A-多项式方面具有帮助。我们也讨论了针对结 $3_1$、$4_1$ 和 $5_1$ 对于 $\mathfrak{g}=\mathfrak{su}_3$ 的 A-多项式的具体例子。