线图的集合表示

设 $G$ 是一个具有顶点集 $V(G)$ 和边集 $E(G)$ 的图。若非空集族 $\mathcal{S} = \{S_1,\ldots,S_n\}$ 满足：$V(G)$ 中的顶点 $v_1, \ldots, v_n$ 与 $\mathcal{S}$ 中的集合之间存在一一对应关系，使得 $v_iv_j \in E(G)$ 当且仅当 $S_i\cap S_j\neq \es$，则称 $\mathcal{S}$ 为 $G$ 的一个集合表示。若 $\mathcal{S}$ 中任意两个集合 $S_i$ 和 $S_j$ 满足 $S_i\neq S_j$（分别为 $S_i\nsubseteq S_j$，$|S_i|=|S_j|$ 和 $|S_i\cap S_j|\leqslant 1$），则称集合表示 $\mathcal{S}$ 为互异（分别为反链、均匀和简单）集合表示。令 $U(\mathcal{S})=\bigcup_{i=1}^n S_i$。若 $\mathcal{S}'$ 可通过从 $U(\mathcal{S})$ 到 $U(\mathcal{S}')$ 的双射由 $\mathcal{S}$ 得到，则称两个集合表示 $\mathcal{S}$ 和 $\mathcal{S}'$ 同构。令 $F$ 表示图 $G$ 的一类集合表示。$F$ 的类型是指在同构关系下的等价类数量。在本文中，我们研究了线图的集合表示类型。我们确定了以下几类集合表示的类型：简单 - 互异、简单 - 反链、简单 - 均匀以及简单 - 互异 - 均匀。