$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 上的 Seshadri 常数及其在辛填充问题中的应用

本文计算了 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 上那些预期答案由 $(-1)$-曲线主导的线丛的 $r$ 点 Seshadri 常数。作为推论，我们得到了 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 辛填充问题的显式公式。此外，还给出了 Mori 锥定理支配区域之外的 Seshadri 常数的一些精确值。这些结果使用了一种有用的新“反射方法”。分析中，$r$ 为奇数和 $r$ 为偶数的情况之间存在显著差异。当 $r$ 为偶数时，问题允许一个无限阶自同构，并且需要考虑无穷多条 $(-1)$-曲线。相比之下，当 $r$ 为奇数时，只有有限数量（通常为4）类型的 $(-1)$-曲线与我们的答案相关。