$4$ 型流形中的曲面序列

设 $(\Sigma_n)$ 为在 $4$ 型流形 $M$ 中的曲面序列，其收敛于分支曲面 $\Sigma_0$。我们记 $k^T_p$（或 $k^N_p$）为当 $n$ 趋于无穷时，切向量束 $T\Sigma_n$（或法向量束 $N\Sigma_n$）的曲率在分支点 $p$ 处的集中程度。或者说，$k^T + k^N$ 测量当我们从 $\Sigma_n$ 推进到 $\Sigma_0$ 时，twistor 度数的下降程度。对于复代数曲线，$k^T + k^N = 0$。在某些情况下——1）如果 $\Sigma_0$ 由至多 $3$ 个分支盘组成，或 2）如果 $\Sigma_0$ 是面积最小化的，或 3）如果 $\Sigma_n$ 是最小曲面——我们证明 $-k^T \geq |k^N|$，并研究等号情况。当 $\Sigma_n$ 的第二基本形具有公共的 $L^2$ 界限时，我们将 $k^T$ 和 $k^N$ 与流形 $G_2^+(M)$ 中的当前 $C$ 的气泡化现象联系起来。如果 $\Sigma_n$ 是最小曲面，则 $C$ 为复曲线。