Möbius-Kantor 图的半对称初等交换覆盖

设 $\p_N \colon \tX \to X$ 为连通图的正则覆盖投影，其覆盖变换群同构于 $N$。若 $N$ 是初等交换 $p$-群，则称投影 $\p_N$ 为 $p$-初等交换的。如果存在 $\Aut X$ 的某个顶点传递（边传递）子群沿 $\p_N$ 提升，则称投影 $\p_N$ 是顶点传递（边传递）的；若它是边传递但非顶点传递的，则称其为半对称的。若 $\p_N$ 不能写成两个（非平凡）正则覆盖投影的复合 $\p_N = \p \circ \p_M$，其中 $\p_M$ 是半对称的，则称投影 $\p_N$ 为极小半对称的。寻找初等交换覆盖投影可通过自同构在图的第一同调群上作用的线性表示在组合上把握。该方法本质上归结为寻找素域上矩阵群的不变子空间（见 {\em J. Algebr. Combin.}, {\bf 20} (2004), 71--97）。本文构造了 Möbius-Kantor 图（广义 Petersen 图 $\GP(8,3)$）的所有两两不同构的极小半对称初等交换正则覆盖投影。对于 $p=2$ 不存在这样的覆盖。否则，此类覆盖投影的数目在 $p \equiv 5,9,13,17,21 (\mod 24)$ 与 $p \equiv 1 (\mod 24)$ 的情形分别等于 $(p-1)/4$ 和 $1+ (p-1)/4$，而在 $p \equiv 3,7,11,15,23 (\mod 24)$ 与 $p \equiv 19 (\mod 24)$ 的情形分别等于 $(p+1)/4$ 和 $1+ (p+1)/4$。对每一 such 覆盖投影，生成相应覆盖的电压规则被明确给出。